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数学的に見る星野JAPAN-その2

面白くなってきたので、もう一個。
 
星野JAPANがキューバ、韓国、アメリカを含む4強に対して、5試合中0勝5敗だった。このことから、星野JAPANは、他のチームより弱いといえるか?
 
これを数学的に考えてみよう。仮説検定を用いる。「各チームの強さが同程度である」という仮説を危険率5%で検定する。
 
それぞれのチームが同程度の強さと仮定すると、各チームの勝率は1/2となる。この場合、5試合戦って、星野JAPANが全敗する確率は、2の5乗分の1=1/32≒0.03となり、0.05よりも小さい。したがって、仮説は棄却される。
 
答:星野JAPANは4強の中で他のチームより弱いといえる。
 
PS.間違っていたので一部直しました。

内部統制評価時のサンプリング調査についての考察

内部統制の評価に関して、日常的に発生する業務であれば、90%の信頼水準を得るためには少なくとも25件のサンプリング調査が必要とされているが、これについて考察をしてみる。 いろんな解説を見たがわかりにくいのが多い。

サンプリング調査の結果、不備が発見されるか否か(0か1)という面でみると、サンプリング調査の結果は二項分布といえる。二項分布の確率関数を使ってもよいが、ここでは不備の発生する確率が十分に小さいと仮定し、二項分布はポアソン分布で近似できることを応用して、ポアソン分布を使用する。

最大逸脱率を9.9%(<10%)としすると、25件のサンプルをとる場合、エラーが最大で約2.5個含まれていても不備とは考えなくてもよいことになる。(25*0.099)

それから25件のサンプルを実際に調査して、その中にエラーが見つからなかった(0件のエラーがあった)場合、ポアソン分布に沿っていると考えて、サンプル数25件のうち、エラーが0件発生する確率は、0.08となる。信頼水準(実際の逸脱率が許容逸脱率を超えない可能性)は1-0.08=0.92となる。(ここがむずい)

ちなみに、25件中1件のエラーがあった場合、信頼水準は、0.71となる。

ここで、問題となる仮定がひとつある。最大逸脱率を9.9%としてしまっている点だ。つまり、「エラーが10%以下であれば、問題とは認めないよ」ってことである。この根拠は以下のブログのコメントにも述べられているが、明確に決まってはいないようだ。内部統制運用の慣用といったところであろうか。

「10%未満の誤謬率なら、内部統制における軽微な過誤として不備の根拠にしない」ことは、アメリカ監査実務で行われている一種の決めごとです。
これを根拠付ける公的基準は存在しません。おそらく、今後もできないと思われます。
http://yamaguchi-law-office.way-nifty.com/weblog/2007/03/post_2a64_1.html

ちなみに、以下のブログにあるように最大逸脱率を9%と仮定すると、25件サンプル中0件のエラーがあったとしたら、信頼水準は約0.895となり、わずかに90%に達しない。0.9%の差に注意が必要である。ちなみに、二項分布関数を利用すると、同じケースでも信頼水準は90%を超える。
http://maruyama-mitsuhiko.cocolog-nifty.com/security/2006/11/_2_eb71.html

あと、気になるところでいうと、1件エラーがあった際に、何件までサンプル数を増やせば信頼水準を90%まで持っていけるかという点について、2種類の情報があった。

・40件までとしている情報
http://maruyama-mitsuhiko.cocolog-nifty.com/security/2006/03/post_daea.html

・42件までとしている情報
http://www.zeem.jp/present/account/k_200802.html

僕の試算によると、ポアソン分布、二項分布、どちらを使用しても最大逸脱率9%のときに40件中1件のエラーが発見された場合、信頼水準は90%に1%以上届かない。したがって、正確性を期すのであれば、後者を採択すべきであろう。

 ↓この本は初心者にもわかりやすいように解説が細かいです。

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数学的に見る星野JAPAN

今回の日本野球チームの惨敗について、記事では、「想定外のストライクゾーン」や「子どものころから学んだ日本野球にこだわったこと」をあげているが、審判を責めてはいけない。敵もみんな同じ条件でプレーしているからだ。プロであれば、審判を観察して味方につけるぐらいの能力が必要だ。それが足りなかった。また、掲示板などには、星野監督や岩瀬を攻める声もあるが、自分のスタイルを貫き通した星野さんを攻めてはいけないだろう。はっきり言って、韓国、キューバ、アメリカを含む4強の中では完全に力負けしている感があった。

打線に関して言えば、目立ったのは青木ぐらいであろう。彼はイチローレベルか、もしかしたらそれ以上かもしれない。どんな場所でも通用できる能力を持ったすばらしい選手だ。今回に関して言えば、阿部がいいところで打てていなかった気がする。彼が打っていれば雰囲気は大きく変わったであろう。全体的にそんなに調子が悪い気はしなかったが、不運な面が多かった気がする。ランナーが出ても、いいあたりが正面を突いてゲッツーになる場面が目立った。これについて選手を攻めるべきではなかろう。

今回、明らかに打線よりも苦しんだのは投手陣だ。何より、慎重になりすぎてカウントを悪くするケースが非常に多かった。大事な場面で四球を与えてしまい、大きい当たりを打たれたことが印象に残っている。きわどいところを攻めるのは悪くはないのだが、無駄な四球を出すぐらいなら、ど真ん中に思い切って投げる勇気を持ってほしい。ヒットを打たれるとしても確率は3割程度だ。5割の確率でボールと判定されるところに投げるよりはましだ。何より、四球はチームの士気に影響を与える。

僕は、日本野球チームが決して弱いとは思わない。人選も間違っていたとは思わない。監督の采配もそんなに大きな影響を与えてはいないんだ。チームの力が拮抗していれば、どんなにいい選手を集めても、どんなにいい監督を採用しても負けることはある。これは、確率的に考えればわかることだ。

今シーズンセリーグを独走している阪神を例にとって考えてみる。今日時点での勝率は.619だ。最近調子を落としているとはいえ、圧倒的な強さである。実は、それでも3試合2勝ペースには届いていないんだ。ここで次の大胆な仮定をしてみよう。「今回の日本チームの実力は五輪出場チームの中でぬきんでていて、.666(3試合で2勝)できる力を持っている」

今回日本チームは9試合で4勝5敗だった。果たして、2/3の確率で勝つチームが9試合4勝5敗になる確率はどのくらいであろうか?

 独立試行の定理により、9C4p4q5 (ただし、p=2/3, q=1/3)

これを計算すると、2016/19683≒0.102となる。これは何を意味するか?

どんなに強いチームでも、そのうちの9試合をランダムに抜き出す試行を繰り返すと、10%に近い確率で4勝5敗となるケースは存在するんだ。打線だって打てないことはあるし、岩瀬だってたまには打たれることがある。それがたまたま重なって負けてしまうことはそんなに珍しいことじゃない。だから野球は面白い。だからこそ面白いのさ。

 

PS.ちなみに、4強の対戦のみを考えると、韓国、アメリカ、キューバに対して、5戦全敗だったが、上記の公式を当てはめてみると、確率は3の5乗分の1、つまり1/243(≒0.4%)となる。これを考えると、本当のところ、日本の実力は4強の中でも強くはないと考えたほうが確率的には自然、という結論に至る。こうなると、もともと金メダルが至上命題ということを掲げるのが間違いだっただろう。選手にはもう少し気楽な環境でやらせてあげたかった。